تاريخ : چهارشنبه بیست و چهارم اسفند 1390 | 16:12 | نویسنده : محترم زاده

الف: مجموعه عددهاي صحيح

عدد صحيح:(integer)

صحيح به معني تندرست، سالم و درست مي باشد و هر يك از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را يك عدد صحيح       مي ناميم. مجموعه ي اعداد صحيح را با حرف كه از كلمه آلماني Zahlen به معني «عدد صحيح» گرفته شده است، نمايش مي دهند. اين مجموعه عبارت است از:

{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =

 

نمايش مجموعه عددهاي صحيح:

براي معرفي يك مجموعه روشهاي مختلفي وجود دارد. اگر اعضاي مجموعه مشخص باشند، اعضاي مجموعه را مي نويسيم مانند: مجموعه كتابهاي درسي سال سوم دوره راهنمايي تحصيلي گاهي اوقات لازم است به جاي نوشتن اعضاي يك مجموعه ، خاصيت اعضاء آن را بيان كنيم. به عنوان مثال فرض كنيد معاون پرورشي يك مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه مي گويد:

دانش آموزاني كه در نوبت اول معدل آن ها بيشتر از 18 باشد ، به اردوي علمي ، تفريحي در شهر اصفهان خواهند رفت. در اين جا اعضاي مجموعه فعلا مشخص نيستند ، بلكه ويژگي و خاصيت اعضاي مجموعه كه معدل بالاي 18 مي باشد در آينده اي نزديك اعضاي مجموعه رامشخص خواهد كرد.

اكنون مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- را در نظر بگيريد و به معرفي اين مجموعه در حالتهاي مختلف توجه كنيد:

الف) نمايش مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- روي محور اعداد صحيح:

ب) نمايش مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- به زبان رياضي:

ج) نمايش مجموعه اعداد صحيح بين 3+ و 3- با نوشتن اعضاي آن مجموعه:

{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A

مثال: مجموعه هاي زير با علائم رياضي بيان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص كنيد:

الف):

 

حل:  مجموعه A بيان مي كند : « x بطوريكه x به اعداد صحيح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد يك است.» . پس از خواندن اين جمله بايد اعدادي را كه واجد اين خاصيت هستند، پيدا كنيم. بديهي است كه عددهاي صحيح 1+ و 1- اين خاصيت را دارند بنابراين :

{ 1- و 1+} =A

 

 

ب):

 

حل: گاهي اوقات به جاي به كاربردن متغير ، عبارتي جبري شامل متغير بكار مي رود.

(2x) نماينده اعضاي اين مجموعه است كه بيان مي كند x  به اعداد طبيعي تعلق دارد. بنابراين:

{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B

 

جمع عددهاي صحيح:

الف) جمع با توجه به بردار:

مثال: جمع متناظر با بردار را بنويسيد.

 

حل:

( عدد انتهاي بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتداي بردار)

 ( 3+ )  =     ( 5+ )   +   ( 2- )

 

ب) جمع بدون توجه به بردار: براي نوشتن حاصل جمعه به صورت زير عمل مي كنيم:

1. ابتدا تا حد امكان مختصر نويسي مي كنيم.

2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع مي كنيم و اگر مختلف العلامت باشند، كم مي كنيم.

3. علامت جواب بدست آمده را مشخص مي كنيم.

مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)

 

يادآوري: چنانچه بخواهيم از قرينه يابي استفاده كنيم به صورت زير عمل مي كنيم:

11-=(4+7)-=(4-)+(7-)

5-=(10-15)-=(10+)+(15-)

4-=(8-12)-=(12-)+(8+)

 

تفريق عددهاي صحيح:

الف) تفريق با استفاده از بردار:

مثال:  تفريق متناظر با بردار را بنويسيد.

 

 

حل: (عدد ابتداي بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهاي بردار)

                           ( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )

 

ب) تفريق اعداد صحيح بدون توجه به بردار:

 براي تفريق كردن عدد b از عدد a ، مي توانيم قرينه b را با a جمع كنيم: يعني:

a-b = a+(-b)

مثال:

22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)

 


 

ب: مجموعه عددهاي گويا

عدد گويا: (rational Number):

گويا صفت فاعلي از مصدر گفتن مي باشد و در رياضي هر عدد كسري مانند يا هر عددي كه بتوان آن را به شكل يك كسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 كه به ترتيب به شكل كسرهاي نوشته مي شوند ، را يك عدد گويا مي ناميم.

 

مجموعه عددهاي گويا:

 اين مجموعه شامل تمام اعداد گويا است، اين مجموعه را با حرف Q كه حرف اول كلمه Quotient  است، نمايش مي دهند.

نمايش مجموعه عددهاي گويا به زبان رياضي به صورت زير است:

 

نماد اعشاري اعداد گويا:

براي مشخص كردن نماد اعشاري اعداد گويا كافي است صورت را بر مخرج كسر تقسيم كنيم. با اين تقسيم امكان ايجاد دو نوع عدد اعشاري در خارج قسمت وجود دارد:

1) عدد اعشاري مختوم

2) عدد اعشاري متناوب

 

مثال:

 

1- عدد اعشاري مختوم:

اگر در هنگام تقسيم صورت بر مخرج به باقيمانده صفر برسيم، عدد اعشاري ايجاد شده مختوم است. عدد اعشاري مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بيان مي شوند و خيلي ساده مي توان آن ها را به صورت كسر تبديل كرد مانند:

 

2- عدد اعشاري متناوب:

اگر در تقسيم صورت بر مخرج كسري به باقي مانده صفر نرسيم و مرتبا عددي در خارج قسمت تكرار شود، اين عدد ، عدد اعشاري متناوب نام دارد.

اعداد اعشاري متناوب به صورت نوشته مي شوند و بدين معني است كه رقم هاي زير خط تيره در اعشار تكرار مي شوند. مانند:

نكته1: اگر ارقام تكراري بلافاصله پس از مميز شروع شوند، عدد اعشاري متناوب ساده است و براي تبديل آن به صورت كسر از فرمول زير مي توان استفاده كرد:

 

مثال:

 

نكته 2: اگر ارقام تكراري بلافاصله پس از مميز شروع نشوند، عدد اعشاري متناوب مركب است وبراي تبديل آن به صورت كسر از فرمول زير مي توان استفاده كرد:

مثال:

نتيجه:  اگر اعداد اعشاري مختوم يا متناوب باشند، قابل تبديل به كسر هستند.

اعدادي مانند كه در هنگام جذر گرفتن به باقيمانده صفر نمي رسند و جواب بدست آمده نه مختوم مي شود و نه متناوب ، قابل تبديل شدن به كسر نيستند و اين بدان معني است كه گويا نمي باشند و غير از اعداد گويا اعداد ديگري هم وجود دارد.

 

محور اعداد گويا:

عدد را بر روي محور مشخص كنيد.

حل: براي اين كار كافي است فاصله بين 3- تا 4- را به 5 قسمت مساوي تقسيم كنيم و 3 تا از آن را انتخاب كنيم.

 

تساوي كسرها و كسر علامت دار:

عدد را روي محور نشان داده و با هم مقايسه كنيد.

چنانچه مشاهده مي كنيد دو عدد   برابرند. يعني بر روي محور اين اعداد يك نقطه را مشخص مي سازند. مي دانيم به صورت زير بدست آمده است:

(صورت و مخرج در عدد 2 ضرب شده است)       

بنابراين مي توان گفت: اگر صورت و مخرج كسر را در عدد غيرصفر n ضرب كنيم، كسر   بدست مي آيد كه با كسر اوليه برابر است.

 

گويا كردن يك كسر:

هر گاه مخرج يك كسر ، راديكال داشته باشد، چنانچه عملي انجام دهيم تا راديكال مخرج حذف شود، اين عمل را گويا كردن كسر گويند.

1. اگر كسر به صورت باشد. (0<b) براي گويا كردن كسر، صورت و مخرج كسر را در ضرب مي كنيم.

 

مثال:

 

2. اگر كسر به صورت باشد ، (0<a,b) صورت و مخرج را در ضرب مي كنيم.

 

مثال:

 

 

 

 

1. قاعده دور در دور و نزديك در نزديك در تقسيم به صورت مقابل مي باشد.  

2. حاصل ضرب هر عدد در وارون آن عدد مساوي يك مي باشد.

مثال: اگر A و وارون يكديگر باشند، مقدار A چقدر است؟

 

3. هر گاه اعداد گويا باشند، بين آن دو قرار دارد.

مثال: بين دو كسر ، پنج كسر ديگر بنويسيد.

با توجه به اين نكته مي توان نوشت: و به همين ترتيب 5 كسر در بين اين دو عدد مشخص مي شود.

á بين دو عدد گويا چند عدد وجود دارد؟

 

4. عدد گوياي را تحويل ناپذير گويند هر گاه ب.م.م a و b مساوي يك باشد.

مثال: .  اگر كسر قابل ساده شدن باشد، عدد گوياي را تحويل پذير مي نامند ؛ مانند  .

 

5. اگر در تجزيه مخرج يك عدد گوياي تحويل ناپذير (ساده نشدني) فقط عامل هاي 2 و 5 باشد ، آن كسر به عدد اعشاري مختوم تبديل مي شود.

مثال:

 

6. اگر در تجزيه مخرج يك عدد گوياي تحويل ناپذير (ساده نشدني) عامل هاي 2 و 5 وجود نداشته باشد، آن كسر به عدد اعشاري متناوب ساده تبديل مي شود.

مثال:

 

7. اگر در تجزيه مخرج يك عدد گوياي تحويل ناپذير (ساده نشدني) ، علاوه بر عامل هاي 2 و 5 عاملهاي اول ديگري نيز مانند 3 ، 7 ، 11 ، ... وجود داشته باشد، آن كسر به عدد اعشاري متناوب مركب تبديل مي شود.

مثال:

 

 


 

þ تست1 :

مجموعه ي با كداميك از مجموعه هاي زير مساوي است؟

 

د) {0,1}

ج) {1, 1-}

ب) {0}

الف)  {1}

 


 

 þ تست2 :  

مجموعه ي  كدام است؟

 

د) { }=Ø

ج) {2, 1, 0, 1-, 2-}

ب) {2, 1}

الف) {2, 1, 0, 1-, ...}

 


 

þ تست3 :  

حاصل عبارت [8-(4-2)5-1]3-3- برابر است با:

 

د)3-

ج) 6-

ب) 18-

الف) 12-

 


 

þ تست4 :  

نصف عدد برابر است با:

 

د)  

ج)

ب)

الف)