π سرگذشت عدد
علي اكبر جعفري
مشروح مطالب اين مقاله در سومين كنفرانس آموزشي رياضي ايران در دانشگاه شهيد باهنر كرمان توسط استاد
علي اكبر جعفري سخنراني شده است.
چكيده
از 2500 سال پيش تاكنون به طريق علمي و مستند بر كتاب هاي π در اين مقاله سعي شده است سرگذشت عدد
مطرح شده است. π معتبر دانشگاهي و دبيرستاني مورد بررسي قرار گيرد . در اين رهگذر روش هاي تجربي براي
با سه مسئله مشهور يونان باستان به ويژه مسئله تربيع دايره سخن رفته است . روش π از پيوند تنگاتنگ عدد
كلاسيك ارشميدس (روش پيرامون ها) ، روش وترهاي بطلميوس، كار هاي غياث الدين جمشيد كاشاني، بيان
هايي براي «mnemonic= يادآور » و ...بررسي شده است . در پايان π تلاش هاي ليندمان بر غير جبري بودن
و كار دانشمنداني همچون ويت، گريگوري، لايپ نيتز، جان واليس و ... مطرح شده و سخن π به خاطر سپردن
ضروري است پايان π اخترشناس آمريكايي درباره اينكه چند رقم اعشاري Simon Newcomb با اظهارنظر
يافته است.
در مكتب تجربه:
آشنا مي شوند و اين π در كتاب رياضي كلاس پنجم دبستان، دانش اموزان به طور تجربي با مقدار تقريبي عدد
دانشمند سرزمين « كاهن » تجربه را در دوره راهنمايي و حتي دبيرستان دنبال مي كنند. آنان حتي خيلي دق يق تر از
قديم اهرام يا معمار هنرمند روم بزرگ، مي توانند با در دست داشتن قطر دايره، محيط آن را به دست آورند .
3 مي گرفتند. گلداني را در نظر بگيريد كه / 3 و روميان 12 / مصري هاي قديم نسبت محيط دايره بر قطر آن را 16
قطر كف آن مساوي 100 ميليمتر باشد. محيط دايره كف آن گلدان بايد 314 ميليمتر باشد. ولي در عمل وقتي
دور گلدان را با نخ اندازه گيري مي كنيم مطمئناً عين اين عدد به دست نمي آيد و به سادگي در حد يك ميليمتر
اشتباه م يكنيم. در اندازه گيري قطر گلدان نيز همينطور. بنابراين خواهيم داشت:
٢
به دست بدهد. حالا معلوم مي شود كه چرا دنياي قديم π اين راه تجربي نمي تواند مقدار مطمئن قابل قبولي براي
مقدار واقعي نسبت محيط دايره بر قطر آن را نمي دانست.
π زمينه هاي تاريخي عدد
در تورات است . به نوشته تورات توجه كنيد : π قديمي ترين سند و مأخذ درباره عدد
و درياچه ريخته شده را ساخت كه از لب تا لبش ده ذراع بود و از هر طرف مدور بود و بلندي اش پنج ذراع ...»
تورات - تواريخ ايام «. و ريسماني سي ذراعي گرداگرد آن را احاطه داشت
به كمك اين متن نتيجه مي گيريم كه نسبت محيط دايره به قطر آن برابر 3 منظور شده است . از ديگر اسناد
پاپيروسي است كه اكنون در مسكو نگهداري مي شود. در اين سند محاسبه محيط دايره π تاريخي در مورد عدد
برابر 3 است. π به وسيله مصريان ارائه شده است. به موجب اين سند نيز مقدار
برابر 3 به چشم مي خورد. بر روي پاپيروس ديگري كه متعلق به 1700 سال π درمحاسبات بابل يان نيز مقدار
قبل از ميلاد مسيح است، مصريان مساحت دايره را اينچنين محاسبه كرده اند:
خواهيم داشت d=2R اگر قرار دهيم
براثر كوشش هاي تجربي تاريخي است و مبناي دقيق علمي ندارد. π بديهي است كه اين مقادير براي
در يونان π ريشه يابي تاريخي عدد
به سه مسئله در يونان باستان بر مي خوريم: π در پيگيري تاريخي عدد
-1 مسئله تضعيف مكعب: به كمك خط كش و پرگار ضلع مكعبي را بسازيد كه حجم آن دو برابر حجم مكعب
مفروضي باشد. اين مسئله معادل است با ساختن پاره خطي به طول ريشه سوم 2 به كمك خط كش و پرگار.
چرا؟
-2 مسئله تثليث زاويه: به كمك خط كش و پرگار زاويه مفروضي را به سه قسمت متساوي تقسيم كنيد.
-3 مسئله تربيع دايره: به كمك خط كش و پرگار ضلع مربعي را رسم كنيد كه مساحت آن با مساحت دايره
مفروضي مساوي باشد.
٣
در يونان باستان براي رسم چنين مربعي به تقريب عمل مي كردند به اين معنا كه طول ضلع مربع را برابر هشت
نهم طول قطر دايره مي گرفتند. ببينيم نتيجه چه خواهد شد؟
پاره خطي رسم كنيد كه اندازه آن » : مسئله تربيع دايره معادل اين مسئله است π~ 3 / ملاحظه مي كنيد كه 16
چرا؟ اگر قطر دايره را واحد فرض كنيم، مفهوم اين مسئله اين است كه « برابر اندازه محيط دايره مفروضي باشد
را به كمك خط كش و پرگار رسم كنيد . اهميت اين سه مسئله در اين نهفته است كه آنها را نمي توان جز π عدد
به تقريب رسم كرد . جستجوي پرتلاش براي يافتن جواب اين سه مسئله بر هندسه يونان اثري عميق گذاشت و
منجر به كشفيات پر ثمري از قبيل مقاطع مخروطي، بسياري از منجني هاي درجه دوم و سوم و منحني هاي
متعالي شد و تا قرن نوزدهم يعني متجاوز بر 2000 سال رياضيدانان سرزمين هاي گوناگون براي حل آن
رياضيدان آلماني ثابت كرد « ليندمان » مي كوشيدند و دست و پنجه نر م مي كردند. تا اينكه در سال 1882 ميلادي
حل اين مسئله به كمك خط كش و پرگار غير ممكن است . بهتر است دبيران محترم رياضي اين مطلب را به
دانش آموزان گوشزد كنند كه به خيال حل اين مسائل زياد وقت صرف نكنند . اكنون برخي از تلاش ها و
صورت گرفته است. π كوشش هايي را مطرح مي كنيم كه در طول تاريخ براي تعيين مقدار تقريبي عدد
٤
ارشميدس و روش پيرامو نها
ارائه داد. π حدود 240 سال قبل از ميلاد، ارشميدس اولين روش كلاسيك را براي تعيين مقدار تقريبي عدد
روش او به صورت زير است:
خواهد بو. اكنون در اين دايره يك π دايره اي به قطر واحد در نظر مي گيريم. در اين صورت محيط دايره برابر
شش ضلعي منتظم محاط و بر آن يك شش ضلعي منتظم محيط مي كنيم. در اين صورت اندازه محيط دايره از
اندازه محيط شش ضلعي منتظم محيطي كمتر و از اندازه محيط شش ضلعي محاطي بيشتر است.
و 3 اكنون اگر در همان دايره يك 12 ضلعي منتظم محاط و بر آن يك 12 ضلعي < π< 3 / بنابراين 4641
محيط كنيم باز هم اندازه محيط دايره بين اندازه هاي محيط هاي اين 12 ضلعي هاي منتظم محيطي و محاطي قرار
مي گيرد.
3 ارشميدس مرتباً تعداد اضلاع را دو برابر / و 1058 < π < 3 / يعني 2154
را با تقريبي π كرد و با استفاده از 96 ضلعي هاي منتظم محيطي و محاطي مقدار
ضلعي هاي محاطي مرتباً رو به n بسيار خوب تعيين كرد (روش افناء) زيرا محيط
ضلعي هاي محيطي مرتباً رو به كاهش هستند و حد مشترك اين n افزايش و محيط
دو دنباله عددي اندازه محيط دايره است. به جدول زير توجه كنيد:
d = 2R = 1
n ضلعي منتظم محاطي n ضلعي منتظم محيطي محيط n محيط
6 3 3 / 4641
12 3 / 1058 3 / 2154
24 3 / 1326 3 / 1596
٥
48 3 / 1393 3 / 1460
96 3 / 1414 3 / 1416
بطلميوس و روش وترها
بعد از ارشميدس به وسيله بطلميوس اسكندراني در π حدود 150 سال بعد از ميلاد اولين مقدار قابل توجه براي
معروف و بزرگترين اثر يونان قديم درباره « المجسطي » كه به عربي - Syntaxis Mathematica اثر معروفش
3) آمده است. 8' در دستگاه شصت گاني به صورت (" 30 π نجوم است- داده شده است. در اين اثر عدد
اين مقدار بدون ترديد از جدول وترها كه در رساله ظاهر مي شود، استخراج شده است . در اين جدول طول
وترهاي يك دايره كه مقابل به زاويه مركزي يك درجه قرار دارند محاسبه شده است . ملاحظه مي كنيد كه طول
مساوي است. AB تقريباً با طول كمان AB وتر
از اولين دانشمندان چيني كه در مكانيك كار (Tsu chung-chi) حدود سال 480 ميلادي تسوچونك چي
بدست آوردد كه تا 6 رقم اعشار π مي كردند تقريب گوياي سيصد و پنجاه و پنج يكصد و سيزدهم را براي
3 است. / صحيح و برابر ... 1415929
٦
محمدبن موسي خوارزمي درباره محاسبه اندازه محيط دايره چنين مي گويد:
π بررسي كار كاشاني براي محاسبه
رياضيدان بزرگ ايراني غياث الدين جمشيد كاشاني در مفتاح الحساب چنين مي نويسد:
مقداري را كه در رساله محيطيه براي نسبت محيط دايره به قطر آن به دست آورده ام، اين است: »
درجه دقيقه ثانيه ثالثه
ج ح كط مده
٧
و عدد « حساب ابجد » اين جدول به اين شكل گويا نيست و به رمز بيشتر شباهت دارد. رمزي كه بايد به كمك
نويسي در مبناي شصت گاني گشوده شود. نتيجه اين خواهد شد:
متعلق به كاشاني است كه در اواخر قرن π لازم به ذكر است كه از رياضيدان هاي ايراني، دقيق ترين محاسبه
چهاردهم و اوايل قرن پانزدهم ميلادي مي زيسته است. كاشاني با استفاده از روش كلاسيك ارشميدس و با
به دست آورده π استفاده از ضلعي هاي منتظم محاطي و محيطي مقدار زير را براي
است:
را به روش كلاسيك با استفاده از π رياضيدان بزرگ فرانسوي مقدار « ويت » در سال 1579 ميلادي
برگزيد. π ضلعي منتظم محاطي و محيطي تا 9 رقم اعشار پيدا كرد. وي همچنين را به عنوان
عرضه كرد: π در سال 1650 ميلادي جان واليس بسط جالب زير را براي عدد
در سال 1671 ميلادي جيمز گريگوري رياضيدان اسكاتلندي سري نامتناهي زير را به دست آورد:
در سال 1674 آن را مي دانست اين حقيقت است كه به ازاي « لايپ نيتز » آنچه گريگوري به آن توجه نكرد و
داريم: x=1
را تا 6 رقم اعشار به دست آوريم بايد دو π توجه كنيد كه اين سري خيلي كند همگرا مي شود. مثلاً براي اينكه
ميليون جمله آن را انتخاب كنيم.
گنگ است. π نشان داد كه عدد « يوهان هايزش لامبرت » در سال 1767
٨
π غير جبري بودن عدد
π به راستي چرا نمي توانيم پاره خطي به اندازه محيط دايره رسم كنيم؟ آيا اين موضوع به گنگ بودن عدد
مربوط است؟ ما مي توانيم بسياري از اعداد گنگ نظير و ... را بسازيم. لاينحل بودن مسئله تربيع دايره تنها
گنگ است و بلكه به خصوصيت ديگري از اين عدد مربوط مي شود. اين ويژگي اين π به اين مربوط نيست كه
ها گويا هستند ai غير جبري است يعني نمي تواند ريشه يك معادله جبري به صورت زير كه در آن π است كه
باشد:
«. خرد و بينش و آگاهي دانشمندان ، ره سر منزل مقصود ترا آموزد » : ماهيت
را به خاطر بسپاريم π خوبي است براي آنكه تا ده رقم اعشار «mnemonic= يادآور »
5=آگاهي 1=و 4=بينش 1=و 3=خرد ...
Simon Newcomb نياز داريم؟ رشته سخن را به π در پايان اين سوال مطرح مي شود كه به چند رقم اعشار
اخترشناس آمريكايي مي دهيم:
كافي است تا محيط زمين را تا يك اينچ تقريب به ما بدهد و سي رقم اعشار، محيط تمام π ده رقم اعشار ...»
اينها «. عالم قابل رؤيت را با تقريبي كه براي نيرومندترين تلسكوپ ها غير قابل تشخيص است فراهم مي آورد
نمونه هايي بود از تلاش باغبانان هميشه سرفراز گلزار انديشه و ادب. بزرگاني كه در آرزوي رسيدن به گلهايي
ويژه (سه مسئله مشهور يونان) عمري كوشيدند، هرچند به آن گلها راه نيافتند ولي در عوض با دامني پر از
ريحان و كشف گلهايي زيباتر زندگي انسان را با عطر دل انگيز دست آوردهايشان معطر ساختند. نامشان جاودانه
باد.
٩
استفاده از عدد پي در ساخت تخت جمشيد
مهندسان هخامنشي راز استفاده از عدد پي را دو هزار و پانصد سال پيش كشف كرده بودند . آنها در ساخت سازه
هاي سنگي و ستون هاي مجموعه تخت جمشيد كه داراي اشكال مخروطي است، از اين عدد استفاده مي كردند .
عدد پي در علم رياضيات از مجموعه اعداد گنگ محسوب مي شود . اين عدد از تقسيم محيط دايره بر قطر آن به
دست مي آيد . كشف عدد پي جزو مهمترين كشفيات در رياضيات است . كارشناسان رياضي هنوز نتوانسته اند
زمان مشخصي براي شروع استفاده از اين عدد پيش بيني كنند . عده زيادي، مصريان و برخي ديگر، يونانيان
باستان را كاشفان اين عدد مي دانستند ام ا بررسي هاي جديد نشان مي دهد هخامنشيان هم با اين عدد آشنا
بودند.
متخصص سازه و ژئوفيزيك و مسئول بررسي هاي مهندسي در مجموعه تخت جمشيد « عبدالعظيم شاه كرمي »
بررسي هاي كارشناسي كه روي سازه هاي تخت جمشيد به ويژه روي ستون هاي تخت » : در اين باره، گفت
جمشيد و اشكال مخروطي انجام گرفته؛ نشان مي دهد كه هخامنشيان دو هزار و پانصد سال پيش از دانشمندان
رياضي دان استفاده مي كردند كه به خوبي با رياضيات محض و مهندسي آشنا بودند . آنان براي ساخت حجم
«. هاي مخروطي راز عدد پي را شناسايي كرده بودند
دقت و ظرافت در ساخت ستون هاي دايره اي تخت جمشيد نشان مي دهد كه مهندسان اين سازه عدد پي را تا
مهندسان هخامنشي ابتدا مقاطع دايره اي را » : چندين رقم اعشار محاسبه كرده بودند . شاه كرمي در اين باره گفت
به چند ين بخش مساوي تقسيم مي كردند . سپس در داخل هر قسمت تقسيم شده، هلالي معكوس را رسم مي
كردند. اين كار آنها را قادر مي ساخت كه مقاطع بسيار دقيق ستون هاي دايره اي را به دست بياورند . محاسبات
اخير، مهندسان سازه تخت جمشيد را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها ، فشاري كه بايد ستون ها
١٠
تحمل كنند و توزيع تنش در مقاطع ستون ها ياري مي كرد . اين مهندسان براي به دست آوردن مقاطع دقيق
«. ستون ها مجبور بودند عدد پي را تا چند رقم اعشار محاسبه كنند
براي ساخت فضاپيماها و « ناسا » هم اكنون دانشمندان در بزرگ ترين مراكز علمي و مهندسي جهان چون
استفاده از اشكال مخروطي توانسته اند عدد پي را تا چند صد رقم اعشار حساب كنند . بر اساس متون تاريخ و
بود . « غياث الدين جمشيد كاشاني » ، رياضيات نخستين كسي كه توانست به طور دقيق عدد پي را محاسبه كند
اين دانشمند اسلامي عدد پي را تا چند رقم اعشاري محاسبه كرد . پس از او دانشمنداني چون پاسكال به محاسبه
دقيق تر اين عدد پرداختند . هم اكنون دانشم ندان با استفاده از رايانه هاي بسيار پيشرفته به محاسبه اين عدد مي
پردازند.
شاه كرمي با اشاره به اين موضوع كه در بخش هاي مختلف سازه تخت جمشيد، مقاطع مخروطي شامل دايره،
به دست آوردن مساحت، محيط و ساخت سازه هايي با اين اشكال » : بيضي، و سهمي ديده مي شود، گفت
«. هندسي بدون شناسايي راز عدد پي و طرز استفاده از آن غيرممكن است
داريوش هخامنشي بنيان گذار تخت جمشيد در سال 521 پيش از ميلاد دستور ساخت تخت جمشيد را مي دهد
و تا سال 486 بسياري از بناهاي تخت جمشيد را طرح ريزي يا بنيان گذاري مي كند . اين مجموعه باستاني
شامل حصا رها، كاخ ها، بخش هاي خدماتي و مسكوني، نظام هاي مختلف آبرساني و بخش هاي مختلف
ديگري است.
مسئله سوزن بوفن
را حساب كنيد. اين مسئله را شخصي بنام π احتمالا تعجب كنيد اگر بشنويد كه با سوزن ميتوانيد عدد مشهور
بوفن حل كرد و به مسئله سوزن بوفن مشهور است . قضيه از اين قرار است كه سوزني را انتخاب ميكنيد و صفحه
خط كشي شده را در نظر ميگيريد بطوريكه فاصله بين خطوط از طول سوزن بيشتر باشد . حال اگر سوزن را
پرتاب كنيم، با چه احتمالي خط را قطع ميكند؟ با محاسبه اين احتمال عدد پي ظاهر ميشود كه از اين ترفند
ميتوان براي محاسبه ع دد پي استفاده كرد شما ميتوانيد براي ديدن اين مسئله به بازي گرافيكي ارائه شده در
سايت زير مراجعه كنيد
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/buffon.html
١١
را كوتاهترين فاصله ته "Y" در نظر بگيريد متغير تصادفي "D" و فاصله بين خطوط را "L" طول سوزن را
را زاويه بين خط و سوزن در نظر بگيريد به شكل ها توجه X سوزن تا يكي از خطوط موازي در نظر ميگيريم و
كنيد
با توجه به افتادن تصادفي سوزن خواهيم داشت
0 < Y.D
0
واضح است كه محل افتادن سوزن و زاويه آن مستقل از هم ميباشند. شما ميتوانيد به برنامه جاوا موجود در
لينك زير مراجعه كنيد تا نحوه نموداري كه قرار است تا بوسليه آن احتمال را محاسبه كنيم را ببينيد
http://whistleralley.com/java/buffon_graph.htm ا
مستطيل آبي ناحيه اي را نشان ميدهد كه ته سوزن و زاويه آن با خط ميتوانند داخل آن قرار بگيرند. اين
متغيرهاي تصادفي در زير آمده اند
١٢
(Y , X)
بالاي سوزن به اندازه زير از پايين آن بالا تر قرار گرفته است
sinX L
زير منحني "X" و "Y" شود يا اينكه موقعيت " Y" در صورتي سوزن خط را قطع ميكند كه اندازه فوق برابر
فوق قرار بگيرد همانطور كه در شكل نشان داده شده است ناحيه زرد جايي را كه سوزن خط را قطع ميكند نشان
ميدهد پس احتمال مورد نظر ما از تقسيم مساحت زرد بر كل مساحت مستطيل بدست مي آيد خواهيم داشت
يد. Ĥ محاسبه فوق به سادگي به دست مي
را حساب كنيم؟ "π" چگونه عدد
دفعه بعد تعداد " n" براي محاسبه عدد پي بايد شما زحمت بكشيد و چندين بار سوزن را پرتاب كنيد مثلا
بناميد پس خواهيد داشت "m" دفعاتي كه سوزن خط را قطع ميكند را
١٣
منابع
ترجمه دكتر محمد كاظم وحيدي اصل. ، Howard W.Eves ، -1 آشنايي با تاريخ رياضيات
ترجمه دكتر محمدكاطم وحيدي اصل. ،J. L. Beggren ، -2 گوشه هايي از رياضيات دوره اسلامي
-3 سرگرمي هاي هندسه، ياكوف پرلمان،ترجمه پرويز شهرياري
-4 نه مقاله هندسه، حسن صفاري، ابوالقاسم قرباني.
-5 رياضيات چيست؟ ريچارت كورانت، هربرت رابينز، ترجمه حسن صفاري.
-6 بحث رياضي با دانش آموز، سرژلانگ، ترجمه نعمت عباديان.
-7 روش تدريس رياضي در دبستان، محمود بهروش، عل ياكبر جعفري، علي اصغر دانشفر.
-8 كتاب معلم دوره راهنمايي، شادروان دكتر مسعود فروزان، محمدتقي ديبايي، پرويز فرهودي مقدم، صفر
باهمت.